Teorema inverso del II di Euclide. Sia ABC un triangolo tale che la proiezione H di A su BC sia interna al lato BC. Inoltre sia il quadrato costruito sul lato AH ed
sia il rettangolo di lati BH e HC. Se
è equivalente a
, allora l’angolo BAC è retto.
Dimostrazione. Supponiamo, per assurdo, che l’angolo BAC non sia retto. Potrebbe essere sia ottuso che acuto. Consideriamo poi un punto M situato sulla semiretta HC, in modo tale che BAM sia retto (Fig. 6). Allora, per il II teorema di Euclide, si ha che è equivalente al rettangolo avente i lati congruenti alle proiezioni dei cateti AB e AM sull’ipotenusa. Poiché per ipotesi
è equivalente al rettangolo avente i lati congruenti alle proiezioni dei cateti AB e AC, ne segue che AM è congruente ad AC, il che è assurdo, dato che il lato AM è interno al lato AC.