Dimostrazione per assurdo del II teorema di Euclide

Teorema inverso del II di Euclide. Sia ABC un triangolo tale che la proiezione H di A su BC sia interna al lato BC. Inoltre Q_{1} sia il quadrato costruito sul lato AH ed R_{1} sia il rettangolo di lati BH e HC. Se Q_{1} è equivalente a R_{1}, allora l’angolo BAC è retto.

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Dimostrazione. Supponiamo, per assurdo, che l’angolo BAC non sia retto. Potrebbe essere sia ottuso che acuto. Consideriamo poi un punto M situato sulla semiretta HC, in modo tale che BAM sia retto (Fig. 6). Allora, per il II teorema di Euclide, si ha che Q_{1} è equivalente al rettangolo avente i lati congruenti alle proiezioni dei cateti AB e AM sull’ipotenusa. Poiché per ipotesi Q_{1} è equivalente al rettangolo avente i lati congruenti alle proiezioni dei cateti AB e ACne segue che AM è congruente ad AC, il che è assurdo, dato che il lato AM è interno al lato AC.

Tratto da: http://www.matematicamente.it/magazine/17aprile2012/167.carachino-teoremi_inversi_pitagora_euclide.pdf

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